Оба сочетания правильны.

Оба варианта неудачны. Можно так: няня ищет работу. Хуже: ищу работу в качестве няни.

Запятая нужна. Это сложноподчиненное предложение, главную часть нужно отделить от придаточной. 

Верно: ищу работу (вакансию) парикмахера.

Верно: ищу работу какую, кого.

Можно, конечно. Раз, два, три... – корректно. Есть распространенное суждение, что неверно говорить раз, два, три, а нужно говорить один, два, три, но совершенно непонятно, на чем это суждение основано. В словарях русского языка раз фиксируется как абсолютно равноправная замена слову один при счете.

Предложение построено верно.

Правило простое:

После ж, ч, ш, щ не пишутся ю, я, ы, а пишутся у, а, и, например: чудо, щука, час, роща, жир, шить. Буквы ю и я допускаются после этиx согласных только в иноязычных словах (преимущественно французских), например: жюри, парашют (в том числе – именах собственных, например: Сен-Жюст), а также в сложносокращенных словах и буквенных аббревиатурах, в которых, по общему правилу, допускаются любые сочетания букв.