Нужна запятая перед союзом и, соединяющим части сложного предложения: Тем не менее за два дня я успел отдохнуть, и мне хотелось продолжить дорогу самостоятельно.

Если сочетание при условии не акцентируется, то сложный союз при условии что не расчленяется: Тем не менее этот закон полезен для граждан, при условии что они применяют его правильно.

Мы не выполняем домашние задания.

Запятая после слов тем не менее не ставится.

Вопрос об употреблении слова тысяча является дискуссионным и недостаточно выясненным. В свое время Н. М. Карамзин писал: «Где же узнаете, как должно писать: с двумя стами Гранадер или Гранадерами, с двумя тысячами рублей или рублями? Вот камень преткновения! Вот узел Гордиев!» Этот гордиев узел не разрублен до сих пор, хотя со времен написанного Карамзиным прошло более двух веков. Л. К. Граудина называет слово тысяча грамматическим хамелеоном, поскольку оно ведет себя то как числительное, то как существительное. Это находит свое отражение даже в наличии двух форм тв. п. ед. ч.: тысячей и тысячью (вторая форма употребляется в составе количественных оборотов и образована по модели числительных — пятью, десятью и пр.). Двойственность грамматической природы слова тысяча проявляется и на уровне его сочетаемости в составе количественных оборотов. Часто утверждается, что слово тысяча в функции числительного согласуется с существительным, а в функции счетного существительного управляет существительным. Тем не менее, как отмечает Д. Э. Розенталь, «во множественном числе слово тысяча, как правило, употребляется в значении счетного существительного и управляет связанным с ним словом: город с двумя тысячами жителей».

Выражение визуальный осмотр часто используют врачи и сотрудники подразделений МВД. А в ГОСТ IEC 60884-1-2013 читаем: «Проверку проводят визуальным осмотром и с применением прибора». Цитаты из иных ГОСТов, определяющих требования работы с различными аппаратами, не приводим, их нетрудно найти самостоятельно. Есть все основания полагать, что всему причиной современная техническая модернизация, которая привела к необходимости разграничивать виды осмотров и для каждого вида подбирать отдельное наименование. Выражение визуальный осмотр напомнило о черных чернилах — речевом обороте, неприемлемом с точки зрения лексической сочетаемости, но тем не менее ставшем хорошо известным обозначением разновидности красителя.

Запятая не требуется: Тем не менее открытие этой столовой было радостной новостью для многих учеников.

Название Республика Беларусь (или просто Беларусь) употребляется как официальное название, слово Белоруссия используется при неофициальном употреблении. Официальное название зафиксировано в Общероссийском классификаторе стран мира под номером 112 (краткое название — Беларусь, полное — Республика Беларусь). Тем не менее слово Белоруссия продолжает существовать в современном русском языке и употребляется в неофициальных контекстах и в названиях некоторых топонимов. Например, сочетание Западная Белоруссия зафиксировано Орфографическим академическим ресурсом «АКАДЕМОС». Специалисты выделяют белорусский вариант русского языка как имеющий характерные особенности. Такой вариант языка может в отдельных аспектах регламентироваться законодательными актами Республики Беларусь, но их действие не распространяется на языковые нормы в других государствах.

В современном русском языке перед начальным сочетанием вр- предлог ко употребляется в сочетании со словом время. В других случаях требуется предлог к. Сочетание ко врачу распространено в непринужденной речи и проникает даже в язык средств массовой информации. Тем не менее оно находится за пределами нормы, его следует характеризовать как просторечное.

Слово досочка входит в состав литературного языка. Слово досточка включено в «Словарь русских народных говоров» и, напротив, не включено в толковые словари литературного языка или имеет здесь помету «просторечное», что позволяет оценивать его как характерное для нелитературных форм речи. Исключением, однако, является «Большой универсальный словарь русского языка» под ред. В. В. Морковкина, где слово досточка дано с пометой «разговорное». Полагаем тем не менее, что в литературном языке этого слова следует избегать.