Ударение падает на первый слог: осколок кОсти.
Форма родительного падежа: кости.
Ударение остается на корне: до ко́сти.
Правильно: перелом кости.
Это глаголы второго спряжения (определяем по ударным личным окончаниям). См. подробнее в «Горячей десятке вопросов».
Правильно: с плеч.
Верно раздельное написание: сойти с ума.
Правилен первый вариант.