Предпочтительно: на дОску, но допустимо и на доскУ. Обратите внимание: в этом сочетании слово Доска пишется с прописной буквы, а почет – со строчной: Доска почета.
Правильно: заслуженный артист, народный артист, орден «Знак Почета».
Второй вариант корректный.
Оба варианта возможны. Лучше: приглашаем отдохнуть на лоне природы.
Правильно: изделие изо льна.
Правильное написание: доска почета.