Правильно: он косит от армии.
Представляется, что здесь уместны кавычки: страны «оси» (раз города не указываются, роль конкретизатора возьмут на себя кавычки, они помогут обратить внимание читателя на это слово, подскажут читателю, что здесь имеется в виду какая-то особая «ось»).
Предпочтительно в родительном падеже: оси.
Предпочтительно: страны оси Берлин – Рим.
Верно: Надежда и Осип Мандельштам, Надежде и Осипу Мандельштам.
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Корректно: школа города Шатуры.