Верно: шаровАя.
Да, название «ОПОРА РОССИИ» в родительном падеже: «ОПОРЫ РОССИИ».
Запятые здесь не требуются.
Лучше: не увидев политической опоры.
Оба варианта корректны: четыре настраиваемые опоры и четыре настраиваемых опоры.
Выйти из сложного грамматического положения можно, только перестроив фразу, например, так: Для этого здесь установлены прожекторные опоры: 22 стационарные и 14 передвижных или ...установлены 22 стационарные прожекторные опоры и 14 передвижных.
Оба варианта возможны.