Верно: на должность паспортиста.
Корректно: принят на должность заведующего кафедрой.
Лучше: назначен директором филиала. Как вариант: назначен на должность директора филиала.
Корректное название должностей: заведующий отделом обслуживания, заведующий читальным залом. Соответственно в контексте: принята на должность заведующего отделом обслуживания; принята на должность заведующего читальным залом.
Если сотрудница стала начальником отдела и главным бухгалтером, то верно: принята на должность начальника отдела — главного бухгалтера.
Верно: принят на должность специалиста.
Правильно: принят на должность кредитного менеджера.
Верно: На должность заведующего терапевтическим отделением... Подробнее см. в вопросе 243193.
Верно: принят на должность прораба.