Нет, верно: начать учиться читать.
Правильно: мучиться (неопределенная форма); мучится и допустимо в разговорной речи мучается (форма 3-го лица ед. числа).
Это форма научусь.
Во втором предложении запятая нужна (отделяется присоединительная конструкция).