Слова зимний и летний в названиях Олимпийских игр пишутся строчными. Цифры лучше оставить римские. Корректно: XXXI летняя Олимпиада.
Следует перестроить сочетание, например: зимняя Олимпиада в Сочи в 2014 году.
Сочетание XXII зимняя Олимпиада не является официальным названием этого спортивного события, поэтому здесь "зимняя" со строчной.
См. также: 2869">http://www.gramota.ru/lenta/news/82869