Запятая нужна.
В этой фразе слово Катя является обращением, поэтому оно должно обособляться: Добрый день, Катя. Обратите внимание: в конце можно поставить восклицательный знак.
Запятая не ставится.
Правильно: жители ЗАТО г. Вилючинска.
Корректнее: участвовал в войне. Обратите внимание: гражданская война (как родовое название, определяющее характер войны) и Гражданская война (в России 1918–1920; в США 1861–1865).
В обоих случаях обращение Катя нужно обособить.
Да, фамилия склоняется.
Это союз но и предлог несмотря на. Верно: Но, несмотря на все уговоры, Катя решила бросить университет.