Корректно: платить за аренду помещения, вносить арендную плату за помещение.
См. в «Справочнике по фразеологии».
Верно: уплатить пошлину.
Правильно: уплатить штраф.
Оплатить то, за что платят: учебу, поездку, лечение – уплатить то, что платят: взнос, штраф, пени.
Оба варианта верны.
Глаголы уплатить и заплатить совпадают в значении "отдать деньги в возмещение чего-либо": заплатить за квартиру – уплатить за квартиру. Таким образом, они синонимичны.
Однако в значении "возместить, воздать" употребляется только глагол заплатить: заплатить злом за добро (но не уплатить).