Правильно: бабка-ёжка (строчными, через дефис). См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Если это официальное название мероприятия, то оно может писаться с заглавной буквы и в кавычках.
Верно: ежиный нос и нос ежа.