Правильно: Не хлебом единым.
Корректно написание со строчной буквы: так пишут в официальных документах, регламентирующих проведение ЕГЭ, и такова современная словарная фиксация.
Кавычки не требуются.
Корректно написание строчными: единый день голосования.
Продолжение фразы все объясняет: ...А всяким словом Божиим.
Названия этих ресурсов пишутся с большой буквы (первое слово).