Правильно: открыт музей-квартира.
Корректно: во Всеволожске.
Возможен вариант: открыт для ваших предложений.
Корректны второй и третий варианты (в значениях "когда я садился" и "когда я сел" соответственно).
Если деепричастный оборот открыв рот используется не в буквальном, а в переносном смысле ('изумленно, удивленно'), он имеет значение обстоятельства образа действия и не обособляется. Об условиях необособления деепричастных конструкций, см., например, параграф 71 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.