Это устойчивое выражение, поэтому употребляется форма ед. ч. даже по отношению к нескольким лицам: Не сносить тогда вам головы.
Возможны оба варианта (с учетом контекстных различий).
Оба варианта правильные.
Корректно: политологи ломают голову.
Правильно: Численность коров составила пятьдесят одну голову.
Оба варианта верны.
Посошок – уменьшительное от посох. Выпить на посошок – выпить на прощание, на дорогу (т. е. перед тем, как идти куда-то с посохом).
Можно перефразировать: по команде каждый из трехсот пятидесяти молодых лейтенантов... и дальше в ед. числе.