В Вашем предложении употреблена составная форма будущего времени. Она образуется с помощью глагола быть в личной форме и инфинитива. В инфинитиве пишется мягкий знак, поэтому правилен первый вариант.
Нормативно и стилистически нейтрально: буду стирать. В непринужденной речи допустимо: буду стираться (в знач. 'устрою стирку').
Верно: За рулем будет несколько человек.
Воспользуйтесь, пожалуйста, «Письмовником».
Предпочтительно согласование во мн. ч.
Обе формы сказуемого возможны, но предпочтительна форма единственного числа.