Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
Топонимы с родовым словом остров обычно не склоняются: на острове Кипр.
Топонимы в сочетании со словом остров обычно не склоняются. Поэтому верно: на острове Коневец. Подробнее см. в "Письмовнике".
Географические названия: остров Путятина, остров Аскольд.
Об одном острове корректно: остров Курильской гряды.
Правильно: Остров свободы.
Правильно: остров Татышев.
Правильно: остров Татышев (от имени Татыш).
Согласно строгой литературной норме названия островов не склоняются: на острове Татышев, островом Татышев. Но в разговорной речи склонение возможно, в этом случае следует склонять название острова как фамилию на -ев: на острове Татышеве, островом Татышевом. См. полный академический справочник «Правила русской орфографии и пунктуации» («Эксмо», 2006) и справочник «Грамматическая правильность русской речи. Стилистический словарь вариантов» (авторы: Л. К. Граудина, В. А. Ицкович, Л. П. Катлинская), а также Письмовник.