Оба варианта возможны. Лучше: приглашаем отдохнуть на лоне природы.
В значении "недостаточно убедительна" – недостаточно мотивированна (краткое прилагательное).
Слово определенно может выступать как вводное в разговорной речи. Слово явно - нет.
Запятая ставится.
С большой буквы пишется первое слово: Первый... Первое...
Это сочетание пишется без кавычек (написание без кавычек зафиксировано словарями русского языка).