Да, это название склоняется (см. словарную фиксацию). Правильно: приток Ред-Ривера.
Пишутся через дефис иноязычные географические названия, если в языке-источнике они пишутся через дефис или раздельно.
Следует писать через дефис без кавычек: порода лабрадор-ретривер.