Вы правы: согласно словарям, у прилагательного корневой нет значения 'основной, главный'. В этом случае следует использовать прилагательное коренной: коренная проблема.
Если это предложение целиком, запятая не нужна.
Лучше использовать такие варианты: ...Вы можете запросить в магазине или позвонить по телефону 101010 или ...Вы можете запросить в магазине или позвонить по телефону на номер 101010.
Вместо нету следует написать нет, в остальном всё верно.
В этом предложении запятая нужна (поскольку во второй части есть подлежащее он).
Это сочетание корректно, оно зафиксировано в словарях.
На практике в подобных случаях запятые чаще всего не ставятся, хотя слова на самом деле могут обособляться как вводные.
Между именами ставится запятая: Иванов Иван Иванович, Сидоров Дмитрий Валентинович.
Да, это словосочетание, состоящее из двух наречий.
Формы будешь, состаришься имеют безударные окончания, поэтому спряжение определяется по инфинитиву: быть, состариться. Первый инфинитив заканчивается не на ить, значит он относится к I спряжению, второй – на ить, значит ко II спряжению.
