А в чем здесь принципиальная разница? Думаем, что этот вопрос не имеет удовлетворительного (а главное - практически значимого) ответа.

Корректно: Уйти на охоту, перекинув ружье через плечо.

Согласно словарям, стопа – 'нижняя часть ноги, от щиколотки вниз'; слово ступня употребляется в этом же значении, а кроме того, может употребляться в значении 'нижняя поверхность стопы; подошва'.

Вы написали верно: аквапилинг.

Корректно: Не ленитесь - выбирайте диету, комплекс упражнений.

Запятая после изучайте нужна.

Название пишется в кавычках, первое слово - с большой буквы. Третий вопрос не совсем ясен. Верно: «Академия фитнеса», «Академии фитнеса» и так далее.

Может быть, "генеральной директрисы"?  :)

Если говорить о названии должности безотносительно к полу лица, эту должность занимающего, то верно: помощник заместителя генерального директора.

Если нужно подчеркнуть, что помощник - женского пола, то корректно: помощница заместителя генерального директора.

А вот пол заместителя и директора в данном случае уточнять не обязательно. 

Вместо тире следует поставить двоеточие.

Словари отмечают оба слова. Но лучше, на наш взгляд, публиковать.

Такая расстановка знаков в принципе возможна, но лучше - без обоих тире.