Важно различать синхронный (современный) морфемный и исторический (этимологический) состав слова. Исторически одно слово может быть образовано от другого. Но назвать слова однокоренными в современном русском языке можно только в том случае, если и сейчас оба слова живут в языке, если чувствуется смысловая связь производного и производящего, если мы можем объяснить значение производной основы через значение производящей. Конечно, слова отчаянный, отчаяться восходят к чаять, исторически в них один корень. Но вполне разумной представляется позиция «Морфемно-орфографического словаря», где этот корень на синхронном уровне уже не выделяется: слова чаяние, чаять ушли на периферию литературного языка и почти забыты, в словарях они сопровождаются пометами устар. и прост., для многих носителей языка связь слов отчаянный и чаять неочевидна (т. е. смысловые связи почти разрушены).
Слово неправомерными следует писать слитно. Однако смысл сочетания признаны неправомерными за что-то не вполне ясен. Фразу нужно перестроить.
Точного числа («полиглотом человек имеет право называться, если он знает строго не менее ... языков») нет. В принципе, если человек свободно владеет 3-4 иностранными языками, его уже вполне можно назвать полиглотом. Хотя, конечно, полиглотами чаще называют людей, обладающих уникальными, с точки зрения большинства носителей языка, способностями, знающих более десяти (а иногда и несколько десятков) языков, способных выучить любой язык с нуля за очень короткое время.
Число букв менялось с течением времени и с изменениями в языке. Сейчас количество букв в общем и целом соответствует фонетическому составу современного языка, позволяя вполне экономно и удобно записывать звучащую речь.
Слово поторопись – это призыв к адресату делать что-либо быстрее. Поэтому фраза Поторопись, уже шестой час вполне может быть сказана в начале шестого (в 5:05 или в 5:10). Допустим, кому-либо нужно сдать работу в шесть, тогда в начале шестого его могут призвать поторопиться, потому что осталось меньше часа. А в 5:45, вероятнее всего, будет сказано: Поторопись, уже почти шесть.
Уже начало шестого (в 5:05 или 5:10) – правильно.
В словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?» (М., 2011) приведены примеры: Тишинский рынок, Кунцевский рынок, Черемушкинский рынок. Что касается названий, которые не согласуются со словом рынок, то примеров в справочниках нет, но, полагаем, и в этих случаях вполне можно обойтись без кавычек: рынок Привоз.
Запятая здесь вполне уместна.
Не вполне ясен контекст. Если имеется в виду какое-то устройство, программа или услуга, которая дает новые возможности, чтобы решать задачи, то лучше: новые возможности для решения сложных задач.
Как всегда — это вводное слово, выделяется запятыми. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации". Сочетание на первый взгляд в данном случае также является вводным и выделяется запятыми. См. в "Справочнике по пунктуации".
Сочетание не вполне корректно. Возможный вариант: сожалеть об инциденте.