Р. п. - Надгорного.

Если эти слова употребляются как часть официального названия государства, правильно с прописных, например: против Исламской Республики Иран. Если же они выступают в обобщенном значении 'форма государственного устройства', следует писать строчными, например: он выступал против исламской республики, за исламскую монархию.

Правильно: пленэр.

Да, Эльдорадо – существительное среднего рода. В тексте песни мы сталкиваемся с нарушением грамматической нормы.

В русском языке подвижное ударение. Это означает, что во многих словах ударение переходит с основы на окончание. Единого "правила постановки ударений" нет, в трудных случаях рекомендуется обращаться к словарям.

Это связано со сложившейся практикой письма.

В этом случае лучше всего написать эрдэ или эр-дэ.

Согласные П и М в этом названии произносятся мягко, согласный Р – твердо.

Авата́ра (санскр. «нисхождение») — термин в философии индуизма, обычно используемый для обозначения явления или воплощения Бога на планете Земля.

Кроме этого, в Интернете авата́р, авата́ра, также юзерпик (от англ. user picture — «картинка пользователя») — небольшое статичное или анимированное изображение (часто ограниченное размером в некоторое число пикселей), обычно не являющееся истинной фотографией пользователя.

Допустимо: передача мысли на (большое, незначительное) расстояние; передача мысли на расстоянии.