Лучше писать без кавычек.

Это вопрос достаточно сложный. Выражения типа наука финансовое право, наука лингвистика и т. п. представляют собой сочетание с приложением, в котором первое слово является по значению более широким и общим, а второе - более узким и конкретным. В справочных пособиях в разделах, посвященных употреблению кавычек, такие случаи вообще не рассматриваются (достаточно подробно описывается лишь употребление кавычек в сочетаниях с собственным наименованием: журнал «Огонек», кинотеатр «Юность»). В разделах, посвященных обособлению приложений, речь идет только о дефисном / раздельном их написании.
На наш взгляд, в словосочетаниях наука лингвистика, наука филология и т. п. кавычкам не место. Сложнее с сочетаниями, в которых приложениями являются неоднословные названия дисциплин, не являющихся наукой в привычном понимании этого слова. Безусловно, вариант наука управления персоналом лучше, но при употреблении в именительном падеже в ряде случаев кавычки могут быть уместны.

См. в «Непростых словах».

Общее правило таково: условные наименования фирм, организаций, предприятий и т. п. заключаются в кавычки. Случаи, когда название организации совпадает с именем собственным или нарицательным существительным, исключениями не являются. Правильно: компания «Россия», фирма «Витязь», ООО «Металлург» и т. п.
Теперь о родовых словах. Слова ООО, ЗАО и т. п. являются точно такими же родовыми словами, как компания, фирма и т. п., поэтому постановка кавычек от этого не зависит. Правильно: ООО «Бревитор», компания «Бревитор» и (без родового слова) «Бревитор».
Без кавычек пишутся только некоторые названия организаций, представляющие собой сложносокращенные слова и аббревиатуры (при этом наличие родового слова в ряде случаев влияет на постановку кавычек, в ряде случаев - не влияет). Без кавычек часто пишутся и названия фирм, написанные латиницей.
Правильно: Нью-Йоркский, Санкт-Петербургский (как первое слово в официальном названии организации).

Верно: янв., февр., март, апр., май, июнь, июль, авг., сент., окт., нояб., дек.

Имя Садко склоняется в былинах и в конферансе, сопровождающем оперу «Садко»; в современном языке не склоняется.

Правильно: извлёкши (согласно «Грамматическому словарю русского языка» А. А. Зализняка).

Кавычки не требуются.

В данном случае слово однако лучше поставить в начало предложения и не обособлять: Однако если на вагоне указан вес брутто (т. е. вес тары и вес груза), то учитывается именно этот вес.

Норма не менялась. Возможно, во втором указанном словаре просто опущены пояснения. Наиболее авторитетным остается «Орфоэпический словарь русского языка» под ред. Р. И. Аванесова. Также Вы можете воспользоваться электронными версиями словарей на нашем портале ( см. окно «Искать на Грамоте»).