В официальных документах принято не склонять, в публицистике и в разговорной речи употребляются склоняемые варианты.
Правильно: флаг Федеративной Республики Германия.
Слово республика в данном случае пишется со строчной буквы. Написание с прописной правильно в полном официальном названии.
Названия республик женского рода обычно склоняются в сочетании со словом республика: в Республике Болгарии. Но в официальных текстах нередко можно увидеть несклоняемый вариант.
В словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011): Древняя Индия.
Слово Беларусь в этом сочетании не склоняется: я живу в Республике Беларусь.
Это два разных государственных образования. Республика Сербия – государство со столицей в Белграде. Республика Сербская – государственное образование на территории Боснии и Герцеговины.
Сегодня официальное наименование: Республика Беларусь.
Слово республика при употреблении вне полного названия государства пишется со строчной: Недавно нашу республику посетили с официальным визитом...
