Это непростой вопрос. Казалось бы: глагольные фразеологизмы, как и любые фразеологизмы, описываются во фразеологических словарях. Но вот, скажем, принять участие и дать слово имеются во «Фразеологическом словаре русского литературного языка» (в 2 т.) А. И. Федорова (Новосибирск, 1995), но только в устаревших значениях, в которых они сегодня не употребляются. Правда, словосочетания принимать участие, играть роль, одержать победу, дать слово фиксируются во «Фразеологическом словаре современного русского литературного языка» под редакцией А. Н. Тихонова (в 2 т.; М., 2004), авторы которого придерживаются широкого понимания фразеологии, понимая под фразеологизмом любое сочетание слов, имеющее образное значение.
В представлении же большинства лексикографов главный критерий фразеологичности — некомпозициональность значения: смысл фразеологизма невозможно представить как сумму значений (композицию) его компонентов. Во всех четырех приведенных Вами примерах лексическое значение глагола ослаблено, полустерто. Мы не задумываемся, что значит «одержать», когда говорим одержали победу. Мы не представляем себе действия по глаголу дать в буквальном смысле, когда говорим дал слово. Но при этом мы приблизительно понимаем, что победить = одержать победу в том смысле, что победитель как бы берет победу в свои руки, «держит» ее. Дать в случае дал слово используется действительно в значении некоторой передачи кому-то чего-то, только это что-то — не конкретный предмет, а информация.
На этом основании можно говорить, что фразеологичности в этих сочетаниях нет, и называть их или неделимыми глагольными сочетаниями, или аналитическими глаголами.
Мы не выполняем домашние задания.
Да, в практике письма сейчас довольно большой разнобой. Оправданным представляется написание парта Героя внутри текста, ведь слово парта используется в своем прямом значении, к тому же не будет противоречия с написанием во множественном числе, где возможно только со строчной — парты. А в качестве названия (например, надписи на самой парте) корректно: Парта Героя.
Однородные придаточные, соединенные союзом но, существуют. Ср. у А. К. Толстого: Люблю тот край, где зимы долги, но где весна так молода...
Правило предписывает ставить запятую, если причастный оборот стоит после определения-прилагательного и перед определяемым словом. Если причастный оборот стоит перед определением-прилагательным и относится к следующему затем сочетанию определения-прилагательного и определяемого слова, то запятая между ними не ставится: Малые водохранилища создаются в оврагах или специально вырытых больших углублениях.
Скобки отделяют ремарку от основного текста пьесы, здесь же другая ситуация, поэтому заключать ремарку в скобки нет необходимости. Выделить ремарку, как и речь героя, можно с помощью кавычек или шрифтового выделения, например курсива.
Да, придаточную часть где возглавил юридический отдел нужно закрыть запятой.
Компонент предложения с союзом как относится к личному местоимению и имеет значение причины, запятая требуется: Как член большой семьи, он останется в памяти близких.
См. наш ответ на вопрос № 261788, а также толкование слова гражданский в Большом толковом словаре русского языка.
Местоимение кто в русском языке — мужского рода, верный вариант (даже применительно к женщине): Кто это мог быть?
