Правильно: на первых порах (в значении "в первое время").
Сложный вопрос. Сложен он прежде всего потому, что нельзя однозначно определить, являются ли названия промзон топонимами (географическими названиями). Как известно, географические названия не заключаются в кавычки, в то время как условные наименования различной семантики пишутся в кавычках.
На наш взгляд, промзоны все-таки сближаются с географическими названиями (прежде всего – с микрорайонами), поэтому предпочтительно написание без кавычек: промзона Парнас, промзона Каменка.
Дартс – склоняемое существительное. Правильно: соревнования по дартсу.
Словарный состав языка – лексику – изучает лексикология.
Корень сарай.
Эти мужские фамилии нужно склонять.