Такой жанр существует, хотя чаще используется благодарственное письмо.
Обособление не требуется, поскольку деепричастие имеет значение обстоятельства образа действия и частично утратило глагольное значение.
Запятая ставится.
Такой тип связи называют примыканием.
"Справка" не выполняет домашних заданий.
Корректно: показан тип «ребенок-катастрофа». Без определяемого слова тип склоняются обе части сочетания: назвал «ребенком-катастрофой».