Правильно только класть.
Корректны второй и третий варианты (в значениях "когда я садился" и "когда я сел" соответственно).
Сделать прививку, укол – нейтральный, общеупотребительный вариант. Поставить прививку, укол – профессионализм, характерный для речи медиков.