Следует склонять только мужскую фамилию Лекарь.
В д.п. - Головой (при наличии соответствующей мужской фамилии Голов).
Если части сложного существительного без соединительной главной тесно слились по смыслу, то первая часть не склоняется (например: плащ-палатки). Если такого «слияния» не произошло, то склоняются обе части. Кроме того, некоторые слова могут склоняться по-разному в разговорной и книжной речи. Так, в разговорной речи встречается вариант в вагон-ресторане, тогда как литературная норма: в вагоне-ресторане.
На практике, если возникают сомнения, мы рекомендуем сверяться со словарями.
Нет, такое название не склоняется: пчелы карника, пчелы породы карника.