Правильно: увеличить время пребывания на сайте. Слов, приведенных в первых двух вариантах, не существует.
Внимательный
Внимающий
Спасибо за внимание
Принимая во внимание
Обратите внимание
Правильно: увеличить время пребывания на сайте. Слов, приведенных в первых двух вариантах, не существует.