Нахимовское училище - первое слово должно писаться с прописной буквы. Остальное верно.
В приведенном примере правильно со строчной. С прописной корректно как первое слово в официальных названиях: Государственный исторический музей, Государственный реестр РФ. В остальных случаях, как правило, написание со строчной.
Правильно: российский (принятый на территории России).
Кавычки будут уместны в этом случае.
В данном случае корректно согласование в м.р.