Грамматически все верно. Исключение может быть сделано по просьбе носителя фамилии.
Лучше использовать кавычки разного рисунка. Предпочтительно: Некоммерческая организация «ПИК "Строим вместе"». Допустимо: Некоммерческая организация "ПИК "Строим вместе".
Да, такие мужские фамилии склоняются, например: Сергея Бондарчука.
Да, склоняются.