Слова Геннадий и Гена не однокоренные, поэтому такая проверка невозможна. В слове Геннадий корень геннадий-, в слове Гена корень ген-.
Нет, это не однокоренные слова.
В словах грамотно, грамотей корень грамот. Грамотно и грамматика – не однокоренные, но родственные слова.
Эти слова не однокоренные, но родственные: деревянный - исконно русское слово; древесный - славянизм (слово из церковнославянского языка).
Это не однокоренные, но родственные слова.