Верно: чехол легко надеть и снять.
Верно и то, и другое, это разные подходы к морфемному разбору. При разборе слова по составу необходимо различать синхронный (т. е. современный) состав и исторический (этимологический) состав. Исторически в словах ненавидеть, негодовать, небрежный не – приставка (когда-то в языке были слова навидеть, годовать и т. д.). Однако сейчас, в современном русском языке приставка в этих словах уже не выделяется (ведь слитное написание этих слов как раз и обусловлено тем, что без не они не употребляются), не считается частью корня.
Сложно сказать без контекста, но, скорее всего, верно: надеть вниз юбку.
В значении "учиться вместе", "сидеть рядом" - сидеть за одной партой.
Верно: надеть на кого (на тебя), на него надели.
См. в «Словаре трудностей».