Ответ дан согласно «Большому толковому словарю русского языка» под редакцией С. А. Кузнецова.
Запятая не нужна.
Вариант сходить за водой стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи. По хлеб – неправильно.
Правильно: пойду в "Школьник".
Двоеточие поставлено корректно.