В сочетании со словом город слово Олимпия в любом случае является приложением. Правило о склонении названий городов в сочетании со словом город распространяется не только на исконные наименования, но и на давно заимствованные и освоенные. К этой группе и можно отнести слово Олимпия. Поэтому сочетание в городе Олимпии соответствует литературной норме.

Орфографически верно: Лилечка. Но в семейной переписке может встречаться и вариант с И.

Правильно: Лилии.

Наверное, техническую вооруженность трудно разделить на этапы. Проще - на степени.

Возможны два варианта: сочетание плита (чего?) основания и существительное с приложением плита-основание. В первом случае склоняется только первое слово (с плитой основания), во втором склоняются оба слова: с плитой-основанием. Выбор за Вами.

Название камина следует писать в кавычках.

Кавычки не нужны.