В корне приведенных Вами слов происходит чередование им/я. Об этом чередовании как об орфографическом явлении можно прочитать в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».

Верно: побируха. Это слово можно найти в словарях Ушакова, Зализняка и других. Также в современных словарях зафиксирован более привычный вариант побирушка.

В слове подъём можно выделить приставку под- и корень -ём-. Приставка в слове имеет свойственное ей значение направленности действия, движения снизу вверх. Корень -ём- выделяется при сравнении со словами разъем, отъем (от отнять). В корне происходит чередование, ср.: поднять — поднимать — подъем. 

Если есть желание подчеркнуть иностранное происхождение имени (клички), то правильно будет сохранять в корне ё или даже писать его через йо: (без) Ёжа или Йожа, (к) Ёжу или Йожу, (с) Ёжем или Йожем, (о) Ёже или Йоже. Если есть намерение русифицировать имя, то склонять его можно так же, как слово ёж. 

В современном русском языке слова бог и обожать однокоренными не являются, а значит, проверка глагола обожать существительным бог некорректна. В информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря» показано, что этимологическая связь между словами есть, но проверочного слова для обожать в современном русском языке нет. В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова глагол членится на морфемы так: обож/а/ть. 

Вы правы, в глаголе понимать и в производном от него существительном понимание (именно это существительное входит в задание) корень с чередованием. См. соответствующую словарную статью в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».

Ответы на подобные вопросы можно найти в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».

Ваши сомнения оправданны (см. здесь).

В орфографии принят более этимологический подход к членению слова на морфемы, опирающийся на языковую интуицию. Носители языка часто чувствуют родство слов, отнесение которых к однокоренным с точки зрения современных смысловых, структурных, словообразовательных связей сомнительно. Слова, в которых членение слова на морфемы - дискуссионный вопрос, не должны служить материалом для проверки знаний в формате ОГЭ и ЕГЭ. Составители КИМ стремятся такие проблемные слова в реальных экзаменационных заданиях не давать.

В слове наказание вторую а можно проверить словом наказанный.

Слово аргиш ('олений обоз') современными словарями русского литературного языка не фиксируется, поэтому нормы его произношения и употребления не закреплены. Нам пришлось обратиться к разным источникам, чтобы попытаться установить, есть ли у этого слова норма, как говорят лингвисты, узуальная, то есть установившаяся в употреблении, в живой речи. Полагаем, что наше небольшое исследование позволяет с большой долей вероятности предполагать, что такая норма сложилась. Слово аргиш склоняют по модели марш – с ударением на основе: аргиша, аргишу, аргишем и т. д. Вот некоторые примеры употребления соответствующих падежных форм: 

Пермяки ехали на оленьих упряжках, аргишем ― караваном. [А. Иванов. Сердце Пармы (2000)]

Теперь на спусках шел пешком и осторожно вел свой аргиш, а второй оставлял наверху. Потом поднимался за вторым аргишем. [С. Залыгин. Оськин аргиш (1961)]

Оленей было много. Олени там все были с семи мысов. Большие олени были. Тут двинулся к своей земле. Играя, они скачут за аргишем. [Эпические песни ненцев. Москва: Наука, 1965]

Главный научный сотрудник института филологии СО РАН профессор Н. Б. Кошкарёва написала нам, что аргиш — очень частотное слово в Ямало-Ненецком и Ханты-Мансийском автономных округах и в формах этого слова сохраняется ударение на корне (в аргише много вещей, на аргише приехала, управлять аргишем). В значении «кочевать» у ненцев  в живой речи и в фольклоре регулярно употребляется глагол каслать, глагол аргишить не встречается.

Нам также не удалось найти факты, которые позволили бы судить о произношении глагола аргишить. В доступных нам источниках он встречается редко. «Русский этимологический словарь» А. Е. Аникина описывает существительное аргиш, но не упоминает образованный от него глагол.