Следует писать с маленькой буквы: управляющая компания. С большой буквы сочетание пишется, если это специально оговорено в начале текста (например, в документах: ... управляющая компания "Такая-то", далее - Управляющая компания).
Верно: туристское снаряжение (снаряжение туристов).
Все вопросы об олимпиаде присылайте по адресу: portal@gramota.ru.