Верно: Вера сочинила, и распечатала, и дала почитать подруге новый рассказ.
Слова по теперешним временам обычно не выделяются запятыми.
Вообще-то это высказывание противоречиво. Вместо "верю" лучше сказать полагаю, считаю, думаю, надеюсь...
Тире ставить не нужно.