Это слово с дополнительным оттенком значения:
ШУБЕЙКА, -и; мн. род. -беек, дат. -бейкам; ж. Разг.
Короткая или нетёплая, изношенная шубка. Старенькая, беличья ш. Замёрзла в своей шубейке. Ш. выше колен.
Правильно: на Арбате, на улице Арбат.
Деепричастный оборот употреблен здесь с ошибкой. Не считая других стилистических мелочей.
Дубай – существительное второго (по школьной грамматике) склонения (как слова май, сарай и т. п.). Правильно: (достопримечательности) Дубая, я был в Дубае и т. д.
Правильно (в пословице): Лес рубят - щепки летят.
Запятая нужна.