Правильно: ученик Днепропетровска и ученик г. Днепропетровска. Географическое название, употребленное с родовым наименованием город, выступающее в функции приложения, согласуется с определяемым словом, то есть склоняется, если топоним русского, славянского происхождения или представляет собой давно заимствованное и освоенное наименование.
Верен первый вариант.
Оба варианта возможны. См. в «Письмовнике»: Единственное и множественное число сказуемого.
Верно: ... - одна из лучших клиник.