Да, склоняются, хотя это явная примета разговорного стиля речи.
Корректны первый и третий из приведенных вариантов.
Верно: Я был на озере Байкал. Названия озер не склоняются в сочетании с родовым словом озеро. Исключение составляют случаи, когда топоним выражен прилагательным: на Онежском озере.
Верно: попить чайку.
См. в «Письмовнике».
Может быть, так? Глотал чашку кофе за чашкой.
Медео – несклоняемое существительное.
Можно сказать: читал книгу и пил чай.