Корректны первый и третий из приведенных вариантов.
Да, склоняются, хотя это явная примета разговорного стиля речи.
Верно: попить чайку.
Верно: Я был на озере Байкал. Названия озер не склоняются в сочетании с родовым словом озеро. Исключение составляют случаи, когда топоним выражен прилагательным: на Онежском озере.
См. в «Письмовнике».
Наречие запоем 'не отрываясь, увлечённо' не имеет других форм, поэтому в нейтральном употреблении такая конструкция невозможна. Но как языковая игра, как шутка, как экспрессия — почему бы и нет?
Может быть, так? Глотал чашку кофе за чашкой.
Медео – несклоняемое существительное.