Сокращение барр. возможно.
Слитное написание корректно.
Правильно: земной шар.
Верно раздельное написание.
Верно: давление 13 бар, давление измеряется в барах.
Можно написать так.
Вот так вот: раз - и нет спортсмена.
Сочетание пять джинсов является общеупотребительным, стилистически нейтральным. Конструкция пять пар джинсов уместна в разговорной речи. Подробнее см. ответ № 252008.
Корректно: царь Берендей.
Общепринятое графическое сокращение от карат – кар (без точки). См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. М., 2012.