По общему правилу в названии этого музея с большой буквы пишется первое слово и входящее в состав названия имя собственное: Палаты бояр Романовых.
Верно: Мои фанаты постоянно спрашивают меня: «С чего ты взял, что мы твои фанаты? Ты кто такой вообще?»
Грамматически верны оба варианта, хотя устойчивое употребление: в собственном соку.
Верно: томаты черри.
Запятые не нужны: для их постановки нет оснований.
Словарной фиксации пока что нет. Написание ролеты возможно, как и склонение этого существительного.