Во флоте – общеупотребительный вариант, на флоте – профессиональный (характерный для речи моряков).
Правильно: российский флот (неофициальное название), но: Военно-Морской Флот РФ (официальное наименование).
Уместно написание со строчной буквы.
Корректно: окончили.
Воспользуйтесь, пожалуйста, «Письмовником» (см. раздел «Когда нужно склонять аббревиатуры?»).