Название пишется в кавычках, первое слово - с большой буквы. Третий вопрос не совсем ясен. Верно: «Академия фитнеса», «Академии фитнеса» и так далее.
Верно: аффилированная кем-либо (какой-либо компанией) фирма.
Допустимо.
Грамматически верно: система управления двигателем.
Правильно: разыскная система. См. «2razysknoj/">Азбучные истины».
Возможны оба варианта - склоняемый и несклоняемый.
Корректно: система «всё включено».
Предпочтительно согласование в женском роде (в соответствии с родом опорного слова).