Правильно: тапка, тапочка. Это существительные женского рода: одна тапка, старая тапочка.
Это канцеляризм. С точки зрения литературного языка такое употребление неверно.
Ваше замечание справедливо. Сочетание неэтичный факт некорректно. Возможно, например: факт неэтичного поведения.
Возможны оба варианта. Вариант с винительным падежом (первый) больше характерен для разговорной речи, с родительным (второй) – для книжной речи.
Вряд ли нужны такие аргументы, тем более что это ложное утверждение.