В слове погода выделяется корень погод-, но исторически по- – приставка. Слова с приставкой ку- нам неизвестны.

См. в учебнике Е. И. Литневской.

Верно: Махачкалу, см. в «Письмовнике».

Слово определённо, подчёркивающее уверенность говорящего в сообщаемом, может как быть, так и не быть вводным в зависимости от места в предложении и интонации. Сравним: Уехать в горы определённо было лучшим его решением и Определённо, уехать в горы было лучшим его решением.

Метать перуны – сердиться, сильно ругать кого-л. Родиться в рубашке – о том, кому всегда сопутствует удача, счастье. Заварить кашу – затеять какое-л. неприятное хлопотливое дело. Взять быка за рога – начинать действовать энергично, решительно. Кот наплакал  – очень мало (о крайне недостаточном количестве кого-л., чего-л.).

См. также наш Справочник по фразеологии.

Такое пунктуационное оформление возможно.

Это не фразеологизмы: каждое слово в указанных сочетаниях употребляется с самостоятельным значением.