Запятую ставить не нужно, так как оборот с союзом как имеет значение образа действия и его можно заменить наречием по-песьи.
Грамматических ошибок нет. Может быть, поработать над стилем, если Вас не устраивает "разговорность" фразы?
Верно: в сети станций (но: на станциях сети).
Вы правы, сочетание неудачное.
Орфографический словарь
Большой толковый словарь
Правильно: Я гуляю по Луне. Слово Луна употреблено как название космического объекта.
Слово луна не употребляется здесь в терминологическом значении, поэтому пишется строчными: ничто не вечно под луной.